Question

我們稱離心率e=

5 -1

2

的橢圓叫做“黃金橢圓”，若

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)為黃金橢圓，以下四個(gè)命題：
（1）長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c成等比數(shù)列．
（2）一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)與其不同側(cè)的焦點(diǎn)以及一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．
（3）以兩條通經(jīng)的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，只要PQ與OM的斜率存在，必有k_PQ•k_OM的定值．
其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____．

Answer 1

（1）∵離心率e=

5 -1

2

=

c

a

，不妨設(shè)a=2，c=

5

-1，則b²=a²-c²=2

5

-2=ac，∴長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c成等比數(shù)列，故正確；
（2）取A（a，0），B（0，b），焦點(diǎn)F（-c，0），而|BF|²+|BA|²=b²+c²+a²+b²=2a²+b²，|AF|²=（a+c）²=a²+2ac+c²=a²+2b²+c²=2a²+b²，
∴|BF|²+|BA|²=|AF|²，∴AB⊥BF，∴一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)與其不同側(cè)的焦點(diǎn)以及一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，故正確；
（3）把x=c代入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

=±c．故正確．
（4）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
則

x 21

a2

+

y 21

b2

=1，

x 22

a2

+

y 22

b2

=1，將兩式相減得

x 21 - x 22

a2

+

y 21 - y 22

b2

=0，∴

x0

a2

+

y0kPQ

b2

=0，又kOM=

y0

x0

，∴kPQ•kOM=-

b2

a2

，為定值．
綜上可知：（1）（2）（3）（4）都正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．