Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=

π

2

，PC⊥平面ABCD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．AC⊥DE，其中AD=1，PC=2，CD=

3

；
（1）求直線PC與平面PDE所成的角；
（2）求點(diǎn)B到平面PDE的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間坐標(biāo)系c-xyz，分別求出直線PC的方向向量與平面PDE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線PC與平面PDE所成的角；
（2）根據(jù)（1）中平面PDE的法向量，設(shè)點(diǎn)B到平面PDE的距離為d，代入點(diǎn)到平面距離公式d=

| BP • n |

| n|

，即可求出點(diǎn)B到平面PDE的距離．

解答：解：如圖建立空間坐標(biāo)系c-xyz
設(shè)BC=a，則A（1，

3

，0），D（0，

3

，0），B（a，0，0），E（

a+1

2

，

3

2

，0），P（0，0，2）

CA

=（1，

3

，0），

DE

=(

a+1

2

，-

3

2

，0）
∵AC⊥DE
∴1×

a+1

2

+

3

×(-

3

2

)+0=0，即a=2．
∴E（

3

2

，

3

2

，0）
設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），

PD

=(0，

3

，-2），

DE

=（

3

2

，-

3

2

，0），
則

n

⊥

PD

，

n

⊥

DE

，即

3 y-2z=0 3 2 x- 3 2 y=0

，
令x=2，得y=2

3

，z=3，所以

n

=（2，2

3

，3）．
設(shè)直線PC與平面PDE所成的角為θ
∵

CP

=（0，0，2），
∴sinθ=|cos＜

n

，

CP

＞|=

6

4+12+9 ×2

=

3

5

，
∴cosθ=

4

5

．
故直線PC與平面PDE所成的角為arccos

4

5

（2）

BP

=（-2，0，2）
設(shè)點(diǎn)B到平面PDE的距離為d，
則d=

| BP • n |

| n|

=

|-2×2+2×3|

4+12+9

=

2

5

．
即點(diǎn)B到平面PDE的距離為

2

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，點(diǎn)到平面的距離，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，線面夾角及點(diǎn)到平面距離問題，轉(zhuǎn)化為向量夾角或向量求模問題是解答本題的關(guān)鍵．