Question

【題目】如圖，已知位于軸左側(cè)的圓與軸相切于點(diǎn)且被軸分成的兩段圓弧長之比為，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）依題意可設(shè)圓心，根據(jù)圓的性質(zhì)可以得出，進(jìn)而可以求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）解法1.

依題意知，只需求出點(diǎn)（或）在劣弧上運(yùn)動時(shí)的直線（或）斜率，設(shè)其直線方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可以求出的取值范圍，根據(jù)點(diǎn)在劣弧上，點(diǎn)在劣弧上，求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的斜率的取值范圍，在討論線的斜率為零時(shí)，是否滿足，最后確定直線的斜率的取值范圍；

解法2.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，求出斜率的取值范圍，再以代求出斜率的取值范圍，接著討論時(shí)，是否滿足條件，最后確定斜率的取值范圍.

（1）依題意可設(shè)圓心.設(shè)圓與軸交于點(diǎn)，因?yàn)閳A被軸分成的兩段圓弧之比為，所以.于是，圓心.

所以圓的方程為.

（2）解法1.

依題意知，只需求出點(diǎn)（或）在劣弧上運(yùn)動時(shí)的直線

（或）斜率，設(shè)其直線方程為，

此時(shí)有，解得.

若點(diǎn)在劣弧上，則直線的斜率，于是;

若點(diǎn)在劣弧上，則直線的斜率，于是.

又當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為，也滿足條件綜上所述，所求的直線的斜率的取值范圍為或

解法2.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，由題意得，解得.

以代得，，解得或.

當(dāng)時(shí)，也滿足題意.

綜上所述，的取值范圍是或