Question

設動點P到點A（-1，0）和B（1，0）的距離分別為d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常數λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點B作直線雙曲線C的右支于M，N兩點，試確定λ的范圍，使，其中點O為坐標原點．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用余弦定理寫出d₁和d₂的等量關系式，然后把它變形為（d₁-d₂）²=*的形式，即|d₁-d₂|=*的形式，此時滿足雙曲線的定義，則問題得證，最后由雙曲線的標準方程形式即可寫出其方程．
（2）首先根據直線MN是否垂直于x軸進行討論，若直線MN垂直于x軸，則直線方程為x=1，又=0可得M、N的坐標，代入雙曲線方程即得λ的值；若直線MN不垂直于x軸，則設其點斜式方程，并與雙曲線方程聯立方程組，可消y得x的一元二次方程，再由根與系數的關系用k與λ的代數式表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而由=0及x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0通過整理消去k得到λ的不等式，此時解不等式即可，最后把兩種情況綜合之．
解答：（1）證明：在△PAB中，|AB|=2，即2²=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos2θ，4=（d₁-d₂）²+4d₁d₂sin²θ，
即（常數），
所以點P的軌跡C是以A，B為焦點，實軸長的雙曲線．
又b²=1-（1-λ），所以C的方程為：．

（2）解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上．
即，因為0＜λ＜1，所以．
②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x-1）．
由得：[λ-（1-λ）k²]x²+2（1-λ）k²x-（1-λ）（k²+λ）=0，
由題意知：[λ-（1-λ）k²]≠0，
所以，．
于是：．
因為，且M，N在雙曲線右支上，所以．
由①②知，λ的取值范圍是：．
點評：本題考查雙曲線的定義、標準方程及直線與圓錐曲線的位置關系，綜合性強，字母運算量大，且需分類討論．