Question

(2007江西，21)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，0)和B(1，0)的距離分別為和，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得．

(1)證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線(xiàn)，并求出C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)C的右支于M、N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)在△PAB中，|AB|=2，則， ，即(常數(shù))， 點(diǎn)P的軌跡C是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)，方程為． (2)設(shè)，． ①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，M(1，1)，N(1，－1)在雙曲線(xiàn)上，即， 因?yàn)?/FONT>0＜λ＜1，所以． ②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k(x－1)．由得：， 由題意知：， 所以，， 于是：， 因?yàn)?/FONT>，且M，N在雙曲線(xiàn)右支上， 所以 ． 由①②知，． 解法二：(1)同解法一 (2)設(shè)，，MN的中點(diǎn)為． ①當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)?/FONT>0＜λ＜1，所以； ②當(dāng)時(shí)，． 又．所以； 由得，由第二定義得 所以． 于是由得． 因?yàn)?/FONT>，所以， 又0＜λ＜1，解得． 由①②知．

提示：

剖析：本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)以及參數(shù)方程的解法．