Question

．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足

（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；
（Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F₁M的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；  （Ⅱ） （Ⅲ）

(I)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，
得
然后再根據(jù)知,因而
（II）本小題應(yīng)先討論時，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上．
然后再根據(jù)當(dāng)且時，由，得．
又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn)．所以可得,從而說明點(diǎn)T的軌跡方程為以O(shè)為圓心半徑為a的圓.
(III)先假設(shè)在C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是
然后可得，由④得所以可得當(dāng)時，存在點(diǎn)M，使S=.然后再對坐標(biāo)化進(jìn)一步推導(dǎo)即可.
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，
所以
（Ⅱ） 當(dāng)時，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上．
當(dāng)且時，由，得．
又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn)．
在△QF₁F₂中，，所以有
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是 
（Ⅲ） C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是
由③得，由④得 所以，當(dāng)時，存在點(diǎn)M，使S=；
當(dāng)時，不存在滿足條件的點(diǎn)M．
當(dāng)時，，
由，
，
，得