Question

【題目】已知 ， ．
（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）求f（x）的值域；
（3）若方程f（x）=a2﹣3a+3有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)t=log3x，t∈[﹣1，1]，則x=3t

f（t）=（3t）2﹣23t+4，

∴f（x）=（3x）2﹣23x+4，

f（x）的定義域為[﹣1，1]

（2）解：設(shè)u=3x， ，

f（u）=u2﹣2u+4=（u﹣1）2+3，

∴f（u）∈[3，7]

即所求值域為[3，7]

（3）解：由于方程f（x）=a2﹣3a+3有實數(shù)根，

∴a2﹣3a+3∈[3，7]，

∴a∈[﹣1，0]∪[3，4]

【解析】（1）設(shè)t=log3x，得到t∈[﹣1，1]，從而求出f（x）的解析式和函數(shù)的定義域即可；（2）設(shè)u=3x ， 得到 ，求出f（u），從而求出函數(shù)的值域即可；（3）求出a2﹣3a+3∈[3，7]，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的零點的相關(guān)知識，掌握函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點，函數(shù)有零點．