Question

已知函數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)求的極值.

（2）證明：在上為增函數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1） 當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，無(wú)極大值。 （2）見解析

【解析】

試題分析：（1） ,在求極值時(shí)要對(duì)參數(shù)討論,顯然當(dāng)時(shí)為增函數(shù),無(wú)極值,當(dāng)時(shí)可求得的根,再討論兩側(cè)的單調(diào)性; （2）要證明增函數(shù),可證明恒正,可再次對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)研究其單調(diào)性與最值,只要說(shuō)明的最小值恒大于等于0即可.已知函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒正或恒負(fù)問(wèn)題,變?yōu)橐粋�(gè)恒成立問(wèn)題,可用相應(yīng)函數(shù)的整體最值來(lái)保證,若求參數(shù)范圍可以采用常數(shù)分離法.

試題解析：（1）由題意：

①當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以無(wú)極值。

②當(dāng)時(shí)，令得，

，；，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以在處取得極小值，且極小值為，無(wú)極大值

綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)，在處取得極小值，無(wú)極大值。

（2）由

設(shè)，則

所以時(shí)，；時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以即在上單調(diào)遞增.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的極值最值求法；2、構(gòu)造函數(shù)解決新問(wèn)題.