Question

已知函數(shù)f(x)=.

（1）求圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值和零點(diǎn)；

（3）設(shè)圖象與x軸相交于(x₁,0)、(x₂,0)，不求出根，求|x₁-x₂|；

（4）已知f(-)=，不計(jì)算函數(shù)值，求f(-);

（5）不計(jì)算函數(shù)值，試比較f(-)與f(-)的大小；

（6）寫出使函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的集合.

Answer 1

思路解析：討論二次函數(shù)的性質(zhì)一般要明確其圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)，求頂點(diǎn)可以用配方法，也可以直接用頂點(diǎn)公式(-,)，求與x軸的交點(diǎn)可借助配方法或直接使用求根公式x=(b²-4ac≥0).畫函數(shù)圖象時(shí)，一般要標(biāo)注對稱軸、頂點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn).下面我們選用配方法解答本題.

解：y=-x²-3x-

=- (x²+6x+5)

=- (x²+6x+9-9+5)

=-［(x+3)²-4］

=- (x+3)²+2.

令y=0，得(x+3)²=4.

∴x₁=-5,x₂=-1.

（1）開口向下，對稱軸為直線x=-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,2)，與x軸的交點(diǎn)為(-5,0),(-1,0).

（2）單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-3)，單調(diào)減區(qū)間為(-3,+∞)，有最大值為2，無最小值，零點(diǎn)為-5，-1.

（3）x₁、x₂是方程-x²-3x-=0，即方程x²+6x+5=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-6,x₁x₂=5.

∴|x₁-x₂|=

（4）∵對稱軸x=-3，∴f(-3+x)=f(-3-x).∴f(-)=f(-3+)=f(-3-)=f(-)=.

（5）f(-)=f(-3-)=f(-3+)=f(-)，

∵-、-∈(-3,+∞)，而f(x)在(-3,+∞)上是減函數(shù)，且-＞-，

∴f(-)＜f(-)，即f(-)＜f(-).

（6）{x|x＜-5或x＞-1}.