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        1. 已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2)
          (1)當t<l時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)比較f(-2)與f (t)的大小,并加以證明;
          (3)當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間,設(shè)g(x)=f(x)+(x-2)ex,試問函數(shù)g(x)在(1,+∞)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.
          分析:(Ⅰ)由f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2),知f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1).由此能求出當t<1時,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
          (Ⅱ)令m=f(-2)=13e-2,n=f(t)=(t2-3t+3)et,設(shè)h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,故h′(t)(2t-3)et+et(t2-3t+3)=et(t2-3t+3),列表討論知h(t)的極小值為h(1)=e->0,由此能夠證明n>m.
          (Ⅲ)由g(x)=(x2-3x+3)ex+(x-2)ex=(x2-2x+1)ex=(x-1)2 ex,知g′(x)=(2x-2)ex+ex(x2-2x+1)=ex(x2-1),設(shè)x>1時,假設(shè)存在[a,b],使y=g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].由此能夠推導出不存在區(qū)間[a,b]滿足題意.
          解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2),
          ∴f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1).
          ①當-2<t≤0時,x∈(-2,t),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
          ②當0<t<1時,x∈(-2,0),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
          x∈(0,t),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
          綜上所述,當-2<t≤0時,y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,t);
          當0<t<1時,y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0),減區(qū)間為(0,t).
          (Ⅱ)f(t)>f(-2).
          證明:令m=f(-2),n=f(t),則m=13e-2,n=(t2-3t+3)et,
          設(shè)h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,
          ∴h′(t)=(2t-3)et+et(t2-3t+3)
          =ett(t-1),(t>-2).
          h(t),h′(t)隨t變化如下表:

          由上表知h(t)的極小值為h(1)=e-
          13
          e2
          =
          e3-13
          e2
          >0.
          又h(-2)=0,
          ∴當t>-2時,h(t)>h(-2)>0,即h(t)>0.
          因此,n-m>0,即n>m,
          所以f(t)>f(-2).
          (Ⅲ)g(x)=(x2-3x+3)ex+(x-2)ex=(x2-2x+1)ex=(x-1)2 ex,
          g′(x)=(2x-2)ex+ex(x2-2x+1)=ex(x2-1),
          設(shè)x>1時,g(x)存在保值區(qū)間,即存在[a,b],使y=g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
          因為x>1時,g′(x)>0,所以y=g(x)單調(diào)遞增.
          故應有
          g(a)=(a-1)2ea=a
          g(b)=(b-1)2eb=b
          ,
          即方程(x-1)2ex=x有兩個大于1的不等根,
          設(shè)φ(x)=(x-1)2ex-x,(x>1),
          φ′(x)=ex(x2-1)-1,
          設(shè)k(x)=ex(x2-1)-1,(x>1),k′(x)=ex(x2+2x-1),
          當x>1時,k′(x)>0,即k(x)在(1,+∞)遞增,
          又k(1)=-1<0,k(2)=3e2-1>0.
          ∴x∈(1,2)時存在唯一的x0,使k(x0)=0.
          即存在唯一的x0,使φ′(x0)=0.
          φ(x),φ′(x)隨x的變化如下表:

          由上表知,φ(x0)<φ(1)=-1<0,
          φ(2)=e2-2>0,
          故y=φ(x)的大致圖象如圖,


          因此φ(x)在(1,+∞)只能有一個零點,
          這與φ(x)=0有兩個大于1的不等根矛盾,
          故不存在區(qū)間[a,b]滿足題意,即函數(shù)g(x)不存在保值區(qū)間.
          點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查不等式的證明,探索滿足條件的區(qū)間是否存在.綜合性強,難度大,具有一定的探索性,對數(shù)學思維的要求較高,解題時要認真審題,仔細解答,注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用
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          (2)若函數(shù)y=f(2x+
          π
          4
          )
          的圖象關(guān)于直線x=
          π
          6
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          1
          x

          (2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
          m
          2
          ]
          ,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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          1
          f(n)
          }
          的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
          A、
          2011
          2012
          B、
          2010
          2011
          C、
          2009
          2010
          D、
          2008
          2009

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