Question

已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，一條漸近線m：x+y=0，設(shè)過點(diǎn)A（-3，0）的直線l的方向向量e=（1，k），
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點(diǎn)的直線a∥l，且a與l的距離為，求k的值；
（3）證明：當(dāng)k＞時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為．

Answer 1

（1）解：由題意知，c=，=，再由c²=a²+b²，a=，b=1，∴雙曲線方程為：-y²=1．
（2）解：直線l的方程y-0=k（x+3），即 kx-y+3k=0．∵過原點(diǎn)的直線a∥l，∴直線a方程為：kx-y=0，
兩平行線間的距離，∴k=±．
（3）證明：設(shè)過原點(diǎn)且平行于l的直線b：kx-y=0，
則直線l與b的距離d=，當(dāng)k＞時(shí)，d＞． 又雙曲線C的漸近線為x±y=0，
∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，∴雙曲線C右支上的任意點(diǎn)到直線l的距離大于，
故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為．
分析：（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)漸近線方程及a、b、c 的關(guān)系求出a、b的值．
（2）先寫出2條平行線的方程，應(yīng)用2條平行線間的距離公式求k的值，
（3）設(shè)過原點(diǎn)且平行于l的直線b：kx-y=0，曲線C右支上的任意點(diǎn)到直線l的距離大于此點(diǎn)到直線b：kx-y=0的距離，求得直線l和直線b的距離d＞，故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道中檔題．