Question

設(shè)橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，長軸長為6

2

，設(shè)過右焦點F．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢M于A，B兩點，求證|AB|=

6 2

1+sin2θ

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意中的離心率，長軸長及a，b和c的關(guān)系聯(lián)立方程可求得a和b，進(jìn)而可求得橢圓M的方程．
（Ⅱ）當(dāng)θ≠

π

2

設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，進(jìn)而可得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出|AB|把tanθ代入化簡得|AB|=

6 2

1+sin2θ

，最后再看當(dāng)θ=

π

2

時也符合，進(jìn)而原式得證．

解答：解：（Ⅰ）依題意可得

2a=6 2 c a = 2 2 b2=a2-c2

解得a=3

2

，c=3，b=3
∴所求橢圓M的方程為

x2

18

+

y2

9

=1
（Ⅱ）當(dāng)θ≠

π

2

，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F（3，0），則直線AB的方程為
y=k（x-3）有

y=kx-3k x2 18 + y2 9 =1

消去y得
（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18(k2-1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[( 12k2 1+2k2 ) 2-4× 18(k2-1) 1+2k2 ]

=

6 2 (1+k2)

1+2k2

又因為k=tanθ=

sinθ

cosθ

代入上式得
|AB|=

6 2

1+sin2θ

當(dāng)θ=

π

2

時，直線AB的方程為x=3，此時|AB|=3

2

而當(dāng)θ=

π

2

時，AB|=

6 2

1+sin2θ

=3

2

綜上所述所以|AB|=|=

6 2

1+sin2θ

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用以及橢圓與直線的關(guān)系．在設(shè)直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免答案不全面．