Question

設(shè)橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6

2

，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證|AB|=

6 2

1+sin2θ

；
（Ⅲ）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)求解．
（Ⅱ）將直線和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理，再用弦長(zhǎng)公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=

6 2

1+sin2θ

+

6 2

1+cos2θ

=

18 2

2+ 1 4 sin2θ

，再用三角函數(shù)求得最值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得：

2a=6 2 c a = 2 2 b2=a2-c2

?

a=3 2 c=3 b=3

所求橢圓M的方程為

x2

18

+

y2

9

=1（4分）
（Ⅱ）當(dāng)θ≠

π

2

，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點(diǎn)F（3，0），
則直線AB的方程為y=k（x-3）
有

y=kx-3k x2 18 + y2 9 =1

?（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
有x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18(k2-1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[( 12k2 1+2k2 )2-4× 18(k2-1) 1+2k2 ]

=

6 2 (1+k2)

1+2k2

**（6分）
又因?yàn)閗=tanθ=

sinθ

cosθ

代入**式得
|AB|=

6 2

cos2θ+sin2θ

=

6 2

1-sin2θ+2sin2θ

=

6 2

1+sin2θ

（8分）
當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，直線AB的方程為x=3，
此時(shí)|AB|=3

2

（10分）
而當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，|AB|=

6 2

1+sin2θ

=3

2

綜上所述所以|AB|=

6 2

1+sin2θ

（11分）
（Ⅲ）過(guò)右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，
同理可得|CD|=

6 2 (1+k2)

2+k2

=

6 2

1+cos2θ

（12分）
有|AB|+|CD|=

6 2

1+sin2θ

+

6 2

1+cos2θ

=

18 2

2+ 1 4 sin2θ

因?yàn)閟in2θ∈[0，1]，
所以當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1時(shí)，
|AB|+|CD|有最小值是8

2

（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與橢圓中弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，滲透了函數(shù)求最值的問(wèn)題．