Question

已知，在△ABC中2sin²

A

2

=

3

sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，
（Ⅰ）求角A；    
（Ⅱ）求

AC

AB

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦及輔助角公式可得2sin（A+

π

6

）=1，利用條件在△ABC中，可得A=

2π

3

；
（Ⅱ）將sin（B-C）=2cosBsinC展開后，轉(zhuǎn)化可得sin（B+C）=4cosBsinC，利用正弦定理、余弦定理得2b²-2c²=a²+b²+c²-2bccos

2π

3

=b²+c²-bc，從而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2sin²

A

2

=

3

sinA，…2分
∴1-cosA=

3

sinA，
∴2sin（A+

π

6

）=1，
∴A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

2π

3

…6分
（Ⅱ）∵sin（B-C）=2cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=4cosBsinC，即sin（B+C）=4cosBsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinA=4cosBsinC，由正弦定理、余弦定理得a=4×

a2+c2-b2

2ac

×c，
即2b²-2c²=a²=b²+c²-2bccos

2π

3

=b²+c²+bc，…10分
解得：

b

c

=

1+ 13

2

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦及輔助角公式，突出考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．