Question

已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷和的大小，并說(shuō)明理由；
(3)求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的解．

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）當(dāng)時(shí)，．
（3）構(gòu)造函數(shù)，然后借助于在區(qū)間、分別存在零點(diǎn)，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知最多在兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而得到結(jié)論。

試題分析：（1）
當(dāng)時(shí)可解得，或
當(dāng)時(shí)可解得
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為                         3分
（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013616264447.png" style="vertical-align:middle;" />在單調(diào)遞增，所以
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013616264447.png" style="vertical-align:middle;" />在單減，在單增，所能取得的最小值為，，，，所以當(dāng)時(shí)，．
綜上可知：當(dāng)時(shí)，．　                  7分
（3）即
考慮函數(shù)，
，，

所以在區(qū)間、分別存在零點(diǎn)，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：最多存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的解                                  10分
點(diǎn)評(píng)：考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及利用函數(shù)與方程的思想的綜合運(yùn)用，屬于難度題。