Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，AD=AP=2， ，E為CD的中點，點F在線段PB上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PC；
（Ⅱ）試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，連接AC， 因為 ，BC=2，∠ABC=45°，
由余弦定理得 ，∴AC=2，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∴BC⊥AC，
又AD∥BC，∴AD⊥AC，
∵AD=AP=2， ，∴AD2+AP2=DP2 ， ∴PA⊥AD，
又AP∩AC=A，AP平面PAC，AC平面PAC，
∴AD⊥平面PAC，∵PC平面PAC，
∴AD⊥PC．

（Ⅱ）∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，PA⊥AD，PA平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD，
以A為原點，以直線DA，AC，AP坐標(biāo)軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，
則A（0，0，0），D（﹣2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（﹣1，1，0），P（0，0，2），
所以 ， ， ，設(shè) （λ∈[0，1]），
則 ，F(xiàn)（2λ，2λ，﹣2λ+2），
∴ ，
平面ABCD的一個法向量為 =（0，0，1）．
設(shè)平面PDC的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令x=1，得 =（1，﹣1，﹣1）．
∵直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
∴|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，
即 = ，∴2﹣2λ= ，解得 ，
∴當(dāng) 時，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．

【解析】（I）利用勾股定理的逆定理證明AD⊥AP，BC⊥AC，從而AD⊥平面PAC，得出AD⊥PC；（II）由面面垂直的性質(zhì)可得AP⊥平面ABCD，建立空間坐標(biāo)系，設(shè) /span> =λ，求出平面PCD的法向量 和平面ABCD的法向量 ，令|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，解出λ即可．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．