Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)有極值，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當有兩個極值點（記為和）時，求證： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知得x>0，且有，，由此利用導數(shù)性質能求出當函數(shù)f（x）存在極值時，實數(shù)a的取值范圍是a>4．
（Ⅱ）x1，x2是x2+（2-a）x+1=0的兩個解，從而x1x2=1，欲證原不等式成立，只需證明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，即證lnx-x+1≤0成立，由此利用構造法和導數(shù)性質能證.

試題解析：

（Ⅰ）由已知得 ，且有

在方程中，

①當，即時， 恒成立

此時在上單調遞增，∴函數(shù)無極值；

②當，即時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：

，

且∵ ，∴

∵當或時， ；當時，

∴函數(shù)在上單調遞減

在和上單調遞增. ∴函數(shù)存在極值

綜上得：當函數(shù)存在極值時，實數(shù)的取值范圍是

（Ⅱ）∵， 是的兩個極值點，故滿足方程

即， 是的兩個解，∴

∵

而在中，

欲證原不等式成立，只需證明

∵，只需證明成立

即證成立

令，則

當時， ，函數(shù)在上單調遞增；

當時， ，函數(shù)在上單調遞減；

因此，故，即成立得證．