Question

二項(xiàng)式(x+

2

x

)4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

 

，展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為

 

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)令x的指數(shù)為0得到常數(shù)項(xiàng)；令二項(xiàng)式中x為1求出各項(xiàng)系數(shù)和．

解答：解：(x+

2

x

)4展開式的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 4

x4-r(

2

x

)r=

C

r 4

x4-r-r2r
令4-2r=0得r=2
故展開式的常數(shù)項(xiàng)為C₄²×2²=24
令二項(xiàng)式中的x=1得到系數(shù)之和為：

C

0 4

+

C

1 4

2+

C

2 4

22+..+

C

4 4

24=(1+

2

1

)4=34=81
故答案為24，81．

點(diǎn)評：本題涉及的考點(diǎn)：
（1）二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式
二項(xiàng)式定理：（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²++C_n^ra^n-rb^r++C_nⁿa⁰bⁿ，通項(xiàng)公式：T_r+1=C_n^ra^n-rb^r
（2）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別：C_n⁰，C_n¹，C_n²，C_nⁿ為二項(xiàng)式系數(shù)．