Question

已知m，t∈R，函數(shù)f （x）=（x-t）³+m．
（I）當(dāng)t=1時(shí)，
（i）若f （1）=1，求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）若關(guān)于x的不等式f （x）≥x³-1在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍；
（Ⅱ）已知曲線y=f （x）在其圖象上的兩點(diǎn)A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）處的切線分別為l₁、l₂．若直線l₁與l₂平行，試探究點(diǎn)A與點(diǎn)B的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ i）因?yàn)閒（1）=1，所以m=1，則f（x）=（x-1）³+1=x³-3x²+3x，而f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（ ii）不等式f（x）≥x³-1在區(qū)間[1，2]上有解，等價(jià)于m不小于3x²-3x在區(qū)間[1，2]上的最小值，由x∈[1，2]時(shí)，，能求出m的取值范圍．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=x³的對(duì)稱中心為（0，0），而f（x）=（x-t）³+m可以由f（x）=x³經(jīng)平移得到，所以f（x）=（x-t）³+m的對(duì)稱中心為（t，m），故合情猜測(cè)，若直線l₁與l₂平行，則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)（t，m）對(duì)稱對(duì)猜想證明如下：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190619761030354/SYS201310241906197610303021_DA/1.png">所以f'（x）=3x²-6tx+3t²=3（x-t）²，所以，l₁，l₂的斜率分別為，．由此能夠證明直線l₁與l₂平行時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)（t，m）對(duì)稱．
解答：解：（Ⅰ）（ i）因?yàn)閒（1）=1，所以m=1，（1分）
則f（x）=（x-1）³+1=x³-3x²+3x，
而f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）． （4分）
（ ii）不等式f（x）≥x³-1在區(qū)間[1，2]上有解，
即不等式3x²-3x-m≤0在區(qū)間[1，2]上有解，
即不等式m≥3x²-3x在區(qū)間[1，2]上有解，
等價(jià)于m不小于3x²-3x在區(qū)間[1，2]上的最小值，（6分）
因?yàn)閤∈[1，2]時(shí)，，
所以m的取值范圍是[0，+∞）． （9分）
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=x³的對(duì)稱中心為（0，0），
而f（x）=（x-t）³+m可以由f（x）=x³經(jīng)平移得到，
所以f（x）=（x-t）³+m的對(duì)稱中心為（t，m），
故猜測(cè)，若直線l₁與l₂平行，則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)（t，m）對(duì)稱．（10分）
對(duì)猜想證明如下：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190619761030354/SYS201310241906197610303021_DA/5.png">所以f'（x）=3x²-6tx+3t²=3（x-t）²
所以，l₁，l₂的斜率分別為，．
又直線l₁與l₂平行，所以k₁=k₂，即，
因?yàn)閤₁≠x₂，
所以，x₁-t=-（x₂-t），（12分）
從而，
所以．
又由上x₁+x₂=2t，
所以點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）關(guān)于點(diǎn)（（t，m）對(duì)稱．
故直線l₁與l₂平行時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)（t，m）對(duì)稱． （14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．