Question

(本小題滿分1 4分)已知m，t∈R，函數f (x) =(x - t)³+m．

(I)當t =1時，

(i)若f (1) =1，求函數f (x)的單調區(qū)間；

(ii)若關于x的不等式f (x)≥x³—1在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍；

(Ⅱ)已知曲線y= f (x)在其圖象上的兩點A(x₁，f (x₁))，B(x₂，f (x₂)))( x₁≠x₂)處的切線

分別為l₁、l₂．若直線l₁與l₂平行，試探究點A與點B的關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）(i)因為，所以，·················· 1分

則， 而恒成立，

所以函數的單調遞增區(qū)間為．·············· 4分

（ii）不等式在區(qū)間上有解，

即  不等式在區(qū)間上有解，

即  不等式在區(qū)間上有解，

等價于在區(qū)間上的最小值，············· 6分

因為時，，

所以的取值范圍是．···················· 9分

（Ⅱ）因為的對稱中心為，

而可以由經平移得到，

所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關于點對稱． 10分

對猜想證明如下：

因為

所以

所以，，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因為，

所以，，························ 12分

從而，

所以．

又由上

所以點關于點（對稱.

故直線與平行時，點與點關于點對稱．·········· 14分

 

【解析】略