Question

（本小題滿分12分）
已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．點、分別是、的中點，現(xiàn)將△沿著邊折起到△位置，使⊥，連結(jié)、．
（Ⅰ）求證：⊥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

19．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵點分別是、的中點，
∴ ．        …… 2分
∴ ∠．
∴ 又⊥，
∴  ∴                                                   
∵ ,
∴ ⊥平面．           …… 4分
∵ 平面,
∴ ．                     …… 6分
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系．
則（－1，0，0），（－2，1，0），
（0，0，1）．∴=（－1，1，0），
=（1，0，1）,        ……8分
設(shè)平面的法向量為，則
 ……10分
令，得，
∴ ．
顯然，是平面的一個法向量=（）．       
∴  cos<，>=． 
∴ 二面角的余弦值是．       ………………12分