Question

已知x0，x0+

π

2

是函數(shù)f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx，(ω＞0)的兩個相鄰的零點，若對?x∈[-

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1，則實數(shù)m的取值范圍為

[-

1

4

，1-

3

2

]

．

Answer 1

分析：利用二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，化簡得f（x）=

3

2

sin（2ωx+

π

3

），根據(jù)函數(shù)的周期為π算出ω=1，從而得出f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）．求出當(dāng)x∈[-

7π

12

，0]時f（x）的值域，而不等式|f（x）-m|≤1恒成立即-1+m≤f（x）≤1+m恒成立，由此建立關(guān)于m的不等式組，解之即可得出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題意，得
f(x)=cos2(ωx-

π

6

)-sin2ωx=

1

2

[1+cos(2ω-

π

3

)]-

1

2

(1-cos2ωx)
=

1

2

cos（2ωx-

π

3

）+

1

2

cos2ωx=

1

2

（cos2ωxcos

π

3

+sin2ωxsin

π

3

）+

1

2

cos2ωx
=

3

4

cos2ωx+

3

4

sin2ωx=

3

2

sin（2ωx+

π

3

）
∵x0、x0+

π

2

是函數(shù)f（x）的兩個相鄰的零點，
∴函數(shù)的周期T=π，可得

2π

2ω

=π，解之得ω=1，
因此，函數(shù)的解析式為f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）．
當(dāng)x∈[-

7π

12

，0]時，2x+

π

3

∈[-

5π

6

，

π

3

]，可得sin（2x+

π

3

）∈[-1，

3

2

]
∴x∈[-

7π

12

，0]時，f（x）的值域為[-

3

2

，

3

4

]
∵對?x∈[-

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1即-1+m≤f（x）≤1+m，
∴-1+m≤-

3

2

且1+m≥

3

4

，解之得m∈[-

1

4

，1-

3

2

]．
故答案為：[-

1

4

，1-

3

2

]

點評：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)的解析式并解決不等式恒成立的問題．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式等價變形等知識，屬于中檔題．