Question

數列的前n項和．
（1）求證：數列是等比數列，并求{b_n}的通項公式；
（2）如果{b_n}對任意恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對數列遞推式進行變形，即可證明數列是等比數列，從而可求其通項，進而可求{b_n}的通項公式；
（2）先求出數列的和，再利用分離參數法，證明數列的單調性，即可求得實數k的取值范圍．
解答：（1）證明：對任意n∈N^*，都有，所以…（1分）
則數列成等比數列，首項為，公比為…（2分）
所以，
∴…（4分）
（2）解：因為
所以…（6分）
因為不等式，化簡得對任意n∈N^*恒成立…（7分）
設，則…（9分）
當n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調遞減數列，當1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調遞增數列
∵，，∴c₄＜c₅，∴n=5時，c_n取得最大值…（11分）
所以，要使對任意n∈N^*恒成立，…（12分）
點評：本題考查數列的遞推式，考查構造法證明等比數列，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離常數，確定數列的最值．