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        1. 如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AB=2AD=2,BD=
          3
          ,PD⊥底面ABCD
          (1)證明:AD⊥BD;
          (2)若二面角P-BC-D為
          π
          6
          ,求AP與平面PBC所成角的正弦值.
          分析:(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理證明AD⊥BD.
          (2)確定∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角,分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量及平面PBC的法向量,利用向量的數(shù)量積公式,即可求得AP與平面PBC所成角的正弦值.
          解答:解:(1)證明:因?yàn)锳B=2AD=2,BD=
          3
          ,所以AD=BC=1,CD=AB=2,
          ∴CD2=BC2+BD2,∴BC⊥BD,
          ∵底面ABCD為平行四邊形,
          ∴AD⊥BD.
          而BC?平面PBC,
          ∴平面PBC⊥平面PBD…(5分)
          (2)∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC,
          又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD
          所以∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角,即∠PBD=
          π
          6
          ,
          而BD=
          3
          ,所以PD=1…(7分)
          分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,
          3
          ,0),C(-1,
          3
          ,0
          ),P(0,0,1)
          所以
          AP
          =(-1,0,1),
          BC
          =(-1,0,0),
          BP
          =(0,-
          3
          ,1)
          ,設(shè)平面PBC的法向量
          n
          =(a,b,c)
          ,
          n
          ?
          BC
          =0
          n
          ?
          BP
          =0
          ,即
          a=0
          -
          3
          b+c=0
          ,可得平面的一個(gè)法向量為
          n
          =(0,1,
          3
          )

          ∴AP與平面PBC所成角的正弦值為sinθ=
          |
          AP
          ?
          n
          |
          |
          AP
          ?|
          n
          ||
          =
          3
          2
          2
          =
          6
          4
          .…(12分)
          點(diǎn)評:本題主要考查線面垂直的性質(zhì)以及直線與平面所成角的大小的求法,要求熟練掌握空間角的求法.
          練習(xí)冊系列答案
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          E是PC的中點(diǎn).求證:
          (Ⅰ)CD⊥AE;
          (Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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          (2)求三棱錐P-MBD的體積.

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          如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
          2
          ,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
          (1)求證:PD⊥AC;
          (2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
          AE
          AP
          的值,若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
          3
          ,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
          (Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
          (Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
          (Ⅲ)若BE=
          3
          3
          ,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
          2
          ,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
          (1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
          (2)求θ的大。划(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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          同步練習(xí)冊答案