Question

關(guān)于x的方程cosx-lg|x|=0的根的個(gè)數(shù)（　�。�

A．1

B．2

C．4

D．6

Answer 1

分析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=cosx與y=lg|x|的圖象，研究?jī)蓚�(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得到原方程根的個(gè)數(shù)．利用根的存在性定理和余弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，分析出當(dāng)x≥0時(shí)兩個(gè)圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)都為偶函數(shù)可得原方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根．

解答：解：原方程即cosx=lg|x|，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=cosx與y=lg|x|的圖象

由于兩個(gè)函數(shù)均為偶函數(shù)，因此方程的根必定為偶數(shù)，只須研究當(dāng)x≥0時(shí)的圖象
∵x≥0時(shí)，cos

π

3

=

1

2

＞lg

π

3

，且cosπ=-1＜lgπ
∴在區(qū)間[0，π]上，兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn)
又∵當(dāng)x∈（π，3π）時(shí)，lgx∈（0，1），
而cosx在（π，2π）上為增函數(shù)，在（2π，3π）上為減函數(shù)，最大值為1
∴在區(qū)間（π，3π）上，兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
而當(dāng)x≥3π時(shí)，易得在[3π，10]上兩個(gè)圖象沒(méi)有交點(diǎn)
由于在區(qū)間（10，+∞）上，lgx＞1恒成立而cosx≤1，兩個(gè)圖象也沒(méi)有交點(diǎn)
∴兩圖象在x≥3π時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)x≥0時(shí)，y=cosx與y=lg|x|的有3交點(diǎn)，得cosx=lg|x|有三個(gè)不同的根
結(jié)合兩個(gè)函數(shù)均為偶函數(shù)，得當(dāng)x＜0時(shí)，cosx=lg|x|也有三個(gè)不同的根，故方程cosx-lg|x|=0的根的個(gè)數(shù)為6
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于余弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的一個(gè)方程，討論方程根的個(gè)數(shù)．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根的存在性定理和對(duì)數(shù)、三角函數(shù)值的計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．