Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：CD⊥平面A1ABB1；

（2）求證：AC1∥平面CDB1．

Answer 1

【答案】（1） 見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）欲證CD⊥平面A1ABB1，可先證平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，滿(mǎn)足根據(jù)面面垂直的性質(zhì)；

（2）欲證AC1∥平面CDB1，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC1與平面CDB1內(nèi)一直線平行，連接BC1，設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E，連接DE．根據(jù)中位線可知DE∥AC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，滿(mǎn)足定理所需條件．

（1）證明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴平面ABC⊥平面A1ABB1．

∵AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB

∴CD⊥平面A1ABB1．

（2）證明：連接BC1，設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E，連接DE．

∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，

∴DE∥AC1．∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．