Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD為圓O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，ED=2AE．
（1）求證：AB²=AD•AE；
（2）求∠ADB的度數(shù)；
（3）延長DB到F，使BF=BO，連接FA．求證：直線FA為⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）易得△ABE∽△ADB，根據(jù)相似三角形的性質可得AB²=AD•AE；
（2）求∠ADB的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的定義易得tan∠BDA=

3

3

，故∠BDA=30°；
（3）連接OA，為了要證明證直線FA為⊙O的切線，明OA⊥AF即可．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，（2分）
∴

AB

AD

=

AE

AB

?AB²=AD•AE．（3分）
（2）∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
又∵DE=2AE，
∴AE=

1

3

AD，
∴AB²=AD•

1

3

AD．
∴AB=

3

3

AD．（4分）
∴

AB

AD

=

3

3

，
∴tan∠BDA=

3

3

．
故∠BDA=30°．（5分）
（3）證明：連接OA，
∵OA=OD=OB，又∠D=30°，
∴∠AOB=60°，（6分）
又∵△AOB為正三角形，
∴∠OAB=60°，AB=OB，
∴∠AOB=60°，（7分）
∵FB=FO，
∴AB=BF，
∴∠FAB=30°，
∴∠FAO=∠FAB=∠BAO=30°+60°=90°．
即FA是⊙O的切線．（8分）

點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．