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				如圖，O是△ABC外任一點，若
          OG
          =
          1
          3
          (
          OA
          +
          OB
          +
          OC
          )          ，求證：G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點）．
          精英家教網			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：由題意O是△ABC外任一點，由
          OG
          =
          1
          3
          (
          OA
          +
          OB
          +
          OC
          )          ，利用向量的減法可以等價于：
          GA
          +
          GB
          +
          GC
          =
          0
          ，再有等價條件，利用向量的平行四邊形法則及平面圖形知識即可求證．
          解答：精英家教網證明：由
          OG
          =
          1
          3
          (
          OA
          +
          OB
          +
          OC
          )          ?3
          OG
          =
          OA
          +
          OB
           +
          OC
          ?(
          OG
          -
          OA
          )+(
          OG
          -
          OB
          )+(
          OG
          -
          OC
          )=
          0
          ?
          AG
          +
          BG
          +
          CG
          =
          0
          ?
          GA
          +
          GB
          +
          GC
          =
          0
          ，
          由題意畫出簡圖為：
          由于
          GA
          +
          GB
          +
          GC
          =
          0
          ?
          GA
          +
          GB
          =
          CG
          ，
          在圖形中，利用平行四邊行法則及兩向量的加法原理可知：
          GA
          +
          GB
          就是以GA，GB為兩相鄰邊的平行四邊形的對角線GD，
          由于四邊形GADB為平行四邊形，所以GD平分AB，即：
          GD
          =
          GA
          +
          GB
          ，所以
          GD
          =
          CG
          ，∴|
          GD
          |=|
          GC|
          ；
          又GD，AB平分，所以點G在三角形ABC的邊AB的中線上，
          同理點G應該在BC邊的中線上，利用重心的定義可知G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點）．
          點評：此題考查了三角形重心的定義，向量的加法，減法及平行四邊行法則．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．
          （1）求證：PB是⊙O的切線；
          （2）已知PA=
          		3
          ，BC=1，求⊙O的半徑．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足
          sinB+sinC
          sinA
          =
          2-cosB-cosC
          cosA
          ．
          （1）證明：b+c=2a；
          （2）如圖，點O是△ABC外一點，設∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，當b=c時，求平面四邊形OACB面積的最大值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，O是△ABC外任一點，若數(shù)學公式，求證：G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011年福建省高考60天沖刺訓練數(shù)學試卷09（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，O是△ABC外任一點，若，求證：G是△ABC重心（即三條邊上中線的交點）．

          

			
          

			
          
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