Question

（本題滿分15分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值；

Answer 1

（1）； （2）整數(shù)的最大值是3．

試題分析：（1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003524796741.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；…………5分
（2）解：由（1）知，，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．…………7分
令，則，……………………8分
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．………………………9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240035251081236.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，…13分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．…………14分
所以．故整數(shù)的最大值是3．………………………15分
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，像涉及恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)研究函數(shù)的最值達(dá)到解題目的。涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。