Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)定義域每的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立。

Answer 1

. 。
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，同可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。
（Ⅱ）由于，顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對(duì)定義域每的任意不是恒成立的，
當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1），函數(shù)在區(qū)間的極小值、也是最小值即是，此時(shí)只要即可，解得，故得實(shí)數(shù)的取值范圍是。
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)成立，這個(gè)不等式即，當(dāng)時(shí)，可以變換為，
在上面不等式中分別令，

所以 

略