Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x，y）（y＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離
（II）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）把代入拋物線方程求得x，進(jìn)而利用拋物線的方程推斷出準(zhǔn)線方程，最后根據(jù)拋物線的定義求得答案．
（II）設(shè)出直線PA，PB的斜率，把A，P點(diǎn)代入拋物線的方程相減后，表示出兩直線的斜率，利用其傾斜角互補(bǔ)推斷出
k_PA=-k_PB，求得三點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，同樣把把A，B點(diǎn)代入拋物線的方程相減后，表示出AB的斜率，將y₁+y₂=-2y代入求得結(jié)果為非零常數(shù)．
解答：解：（I）當(dāng)時，
又拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為
由拋物線定義得，所求距離為

（II）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB
由y₁²=2px₁，y²=2px
相減得（y₁-y）（y₁+y）=2p（x₁-x）
故
同理可得
由PA，PB傾斜角互補(bǔ)知k_PA=-k_PB
即
所以y₁+y₂=-2y
故
設(shè)直線AB的斜率為k_AB
由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁
相減得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以
將y₁+y₂=-2y（y＞0）代入得，所以k_AB是非零常數(shù)
點(diǎn)評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．