Question

【題目】對于定義在上的函數(shù),若函數(shù)滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞減，②存在常數(shù),使其值域為，則稱函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”，說明理由；

(2)求證：函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

(3)若函數(shù)，,求證：當(dāng)且僅當(dāng)時,是的“漸近函數(shù)”.

Answer 1

【答案】（1）是，見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

(1)用反比例型函數(shù)的單調(diào)性,可以判斷函數(shù)是否滿足定義中的兩條性質(zhì),進(jìn)而可以判斷出函數(shù)是不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”.

(2)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)性的性質(zhì),證明出函數(shù)至少不滿足定義中兩條性質(zhì)中的一條,即可證明出函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

(3)根據(jù)定義可知函數(shù)是上的減函數(shù).這樣運用單調(diào)性的定義,可以求出的取值范圍,再根據(jù)定義中的第二條性質(zhì)再求出的取值范圍,最后可以確定的值.

(1) 函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”理由如下：

,

顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時, ,因此存在常數(shù),使得函數(shù)的值域為,故函數(shù)是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

(2) ,由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減,符合定義中的第一條性質(zhì),

當(dāng)時, ,,故函數(shù)的值趨近負(fù)無窮大,故不滿足第二條性質(zhì),故函數(shù)不是函數(shù)的“漸近函數(shù)”；

(3) 由題意可知：在上是減函數(shù).

設(shè)且,則有

,

因為且,所以，

因為在上是減函數(shù)，而,則必有

，所以,即；

函數(shù)在上的值域為,則有,

顯然,當(dāng)時，,因此,綜上所述：.