Question

【題目】已知四棱錐，底面為菱形， 為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且平面．

（1）證明： ；

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)， ， 與平面所成的角為，求平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：

（1）連交于點(diǎn)，連，則得，進(jìn)而可得平面，于是．由線面平行的性質(zhì)可得，所以得．（2）由條件可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出平面AMHN與平面ABCD的法向量，通過兩法向量的夾角的余弦值可得所求．

試題解析：

（1）證明：連交于點(diǎn)，連．

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，

所以，且為、的中點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，

所以，

又且平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以．

因?yàn)?/span>平面， 平面，平面平面，

所以，

所以．

（2）由（1）知且，

因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，

所以，

又，

所以平面，

所以與平面所成的角為，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以．

分別以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則

，

所以

設(shè)平面的法向量為，

則，令，得．

由題意可得平面的法向量為，

所以．

所以平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為．