Question

已知雙曲線C與雙曲線

x2

2

-y2=1有共同漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn)（2，-2）．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過雙曲線C的上焦點(diǎn)作直線l垂直與y軸，若動(dòng)點(diǎn)M到雙曲線C的下焦點(diǎn)的距離等于它到直線l的距離，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出有共同漸近線的雙曲線的方程，代入（2，-2），即可求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以雙曲線C的下焦點(diǎn)F₂（0，-

6

）為焦點(diǎn)，直線l：y=

6

為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)所求雙曲線方程為

x2

2

-y2=k(k≠0)，將點(diǎn)（2，-2）代入，得k=-2，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y2

2

-

x2

4

=1．
（2）由題設(shè)可知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以雙曲線C的下焦點(diǎn)F₂（0，-

6

）為焦點(diǎn)，直線l：y=

6

為準(zhǔn)線的拋物線，所以p=|F₁F₂|=2

6

，故點(diǎn)M的軌跡方程是x2=-4

6

y．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查方程的設(shè)法，屬于中檔題．