Question

已知直線l過點(diǎn)P（3，4）
（1）它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，求直線l的方程．
（2）若直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，符合題意，求出斜率k即可得出；當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，由于它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，可設(shè)直線l的方程為：

x

a

+

y

2a

=1．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可．
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由直線l過點(diǎn)P（3，4）可得得：

3

a

+

4

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，進(jìn)而得到三角形AOB的面積的最小值．

解答：解：（1）①當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，符合題意，斜率k=

4

3

，直線方程為y=

4

3

x，即4x-3y=0；
②當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，∵它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，
∴可設(shè)直線l的方程為：

x

a

+

y

2a

=1．
∵直線l過點(diǎn)P（3，4），∴

3

a

+

4

2a

=1，解得a=5．
∴直線l的方程為：

x

5

+

y

10

=1，即2x+y-10=0．
綜上所述，所求直線l方程為4x-3y=0或2x+y-10=0．
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
由直線l過點(diǎn)P（3，4）得：

3

a

+

4

b

=1．
∴1≥2

3 a × 4 b

，化為ab≥48，當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=8時(shí)取等號(hào)．
∴△AOB的面積=

1

2

ab≥

1

2

×48=24，其最小值為24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線截距式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．