Question

某學(xué)生在觀察正整數(shù)的前n項(xiàng)平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，n∈N^*時(shí)發(fā)現(xiàn)它的和為關(guān)于n的三次函數(shù)，于是他猜想：是否存在常數(shù)a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)(n+2)(an+b)

12

．對(duì)于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2時(shí)猜想成立，求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若該同學(xué)的猜想成立，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)歸納法證明．若不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（1）若n=1，2時(shí)猜想成立，
假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=

n(n+1)(n+2)(an+b)

12

中，
令n=1，得4=

1

2

（a+b）①
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，對(duì)于對(duì)于一切正整數(shù)n猜想都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=

n(n+1)

12

（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，（*）式都成立．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上述知，（*）成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10），
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

12

[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式也成立．
綜上所述，當(dāng)a=3，b=5時(shí)題設(shè)的等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立．