Question

【題目】已知過(guò)定點(diǎn)，且與直線(xiàn)：相切的動(dòng)圓圓心為.

（Ⅰ）求圓心的軌跡方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與軌跡交于、兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，中點(diǎn)記為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）16

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)：為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，由此可得軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，再求得，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式運(yùn)算后，根據(jù)基本不等式可得最小值.

（Ⅰ）由題意可知，圓心到點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)：的距離，

所以圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)：為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，

所以所求軌跡的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去得，

設(shè)，則，所以，

易得，

所以

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）

所以的最小值為16