Question

設(shè)點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）的距離和它到焦點(diǎn)的距離之和的最小值為.
（1）求曲線C的方程；
（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過作斜率為的直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與交于另一點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線相切？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）；（2）.

第一問中國(guó)，利用依題意知，解得，所以曲線的方程為
第二問中，設(shè)直線的方程為：，則點(diǎn)聯(lián)立方程組，消去得
得.所以得直線的方程為.
代入曲線，.解得
解：（Ⅰ）依題意知，解得.
所以曲線的方程為. ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由題意直線的方程為：，則點(diǎn)
聯(lián)立方程組，消去得所以直線的斜率，從而得到結(jié)論。
得.………………………………………………………………………………6分
所以得直線的方程為.
代入曲線，得.
解得.…………………………………………………………………8分
所以直線的斜率…………………………10分
過點(diǎn)的切線的斜率.
由題意有.
解得.
故存在實(shí)數(shù)使命題成立.……………………………………………………………12分