Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若直線過(guò)點(diǎn)且，求直線的方程；

（2）已知點(diǎn)，若直線不與坐標(biāo)軸垂直，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）法一：焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，說(shuō)明不符合題意，故直線的斜率存在，設(shè)直線方程為與聯(lián)立得，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解，求解直線方程．

法二：焦點(diǎn)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，，利用韋達(dá)定理以及距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可．

（2）設(shè)，，設(shè)直線方程為與聯(lián)立得：，通過(guò)韋達(dá)定理以及斜率關(guān)系，求出直線系方程，即可推出結(jié)果．

解：（1）法一：焦點(diǎn)，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

此時(shí)，不符合題意，故直線的斜率存在．

設(shè)直線方程為與聯(lián)立得，

當(dāng)時(shí)，方程只有一根，不符合題意，故.，

拋物線的準(zhǔn)線方程為，

由拋物線的定義得，

解得，

所以方程為或.

法二：焦點(diǎn)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為,

與聯(lián)立得，設(shè)，，，.

，

由，解得，

所以方程為或.

（2）設(shè)，，

設(shè)直線方程為與聯(lián)立得：，

可得，.

由得，即.

整理得，即，

整理得，

即，即.

故直線方程為過(guò)定點(diǎn).