Question

設

a

=(1+cosα，sinα)，

b

=(1-cosβ，sinβ)，

c

=(1，0)，α∈(0，π)，β∈（π，2π），

a

與

c

的夾角為θ₁，

b

與

c

的夾角為θ₂，且θ₁-θ₂=

π

6

；
（1）用α，β表示cosθ₁，cosθ₂；
（2）求sin

α-β

4

的值．

Answer 1

分析：（1）由α和β的范圍，得到sinα和sinβ的正負，進而得到1+cosα和1-cosβ的正負，從而確定兩向量所在的象限，然后利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡

a

•

c

，再根據(jù)平面向量的夾角公式即可表示出cosθ₁，同理可表示出cosθ₂；
（2）根據(jù)（1）表示出的cosθ₁和cosθ₂，由角的范圍可表示出θ₁和θ₂，代入已知的等式θ₁-θ₂=

π

6

，即可求出

α-β

4

的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出sin

α-β

4

的值．

解答：解：（1）∵α∈（0，π），β∈（π，2π），
∴sinα＞0，sinβ＜0，又1+cosα＞0，1-cosβ＞0，
∴

a

在第一象限，

b

在第四象限，
∴

a

•

c

=1+cosα=|

a

||

c

|cosθ₁=

(1+cosα)2+sin2α

cosθ₁，
∴cosθ₁=

1+cosα

2(1+cosα)

=

1+cosα 2

=

cos2 α 2

=|cos

α

2

|=cos

α

2

，
則θ₁=

α

2

，
又

b

•

c

=1-cosβ=|

b

||

c

|cosθ₂=

(1-cosβ)2+sin2β

cosθ₂，
∴cosθ₂=

1-cosβ

2(1-cosβ)

=

1-cosβ 2

=|sin

β

2

|=sin

β

2

=cos（

β

2

-

π

2

），
則θ₂=

β

2

-

π

2

；
（2）由θ₁-θ₂=

π

6

，將（1）表示出的θ₁和θ₂代入得到

α

2

-（

β

2

-

π

2

）=

π

6

，即

α-β

2

=-

π

3

，
所以

α-β

4

=-

π

6

，
則sin

α-β

4

=sin（-

π

6

）=-sin

π

6

=-

1

2

．

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，數(shù)量積表示兩向量的夾角，二倍角的余弦函數(shù)公式及二次根式的化簡，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運算法則及數(shù)量積表示兩向量的夾角是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．