Question

（本小題滿分12分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)
（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式
（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）＝x·v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)）

Answer 1

解：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v（x）＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v（x）＝ax＋b．
再由已知得解得………………………………4分
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為
………………………………6分
（2）依題意并由（1）可得
……………………………8分
當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；……9分
當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f（x）＝x（200－x）≤²＝．……………10分
當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立．
所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f（x）在區(qū)間[20,200]上取得最大值．……………11分
綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f（x）在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333．
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)．
………12分

解析