Question

（本小題滿分12分）自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生的資源，為了持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響。用表示某魚(yú)群在第年初的總量，，且。不考慮其他因素，設(shè)在第年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正數(shù)其中稱為捕撈強(qiáng)度。
（1）求與的關(guān)系式；
（2）設(shè)，為了保證對(duì)任意，都有，則捕撈強(qiáng)度的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）從第年初到從第年初，魚(yú)群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，依題意

即 
（2）若的值使得，由，知特別地有，即而，所以，以下去證當(dāng)時(shí)，恒有，由此確定的允許最大值是1。
①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。
②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即。
則當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823184153267448.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以。
故當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立。
由①②可知對(duì)于任意恒有
綜上，為了保證對(duì)任意，都有，則捕撈強(qiáng)度的最大允許值是1

略