Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對a∈(0，1)，是否存在實(shí)數(shù)λ，，使成立，若存在，求λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一見解析（2）存在，.

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分三種情況，分析與的關(guān)系，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由題意轉(zhuǎn)化為且，利用導(dǎo)數(shù)求出，，即轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出，即可求解.

（1）的定義域為，

，

①當(dāng)a=0時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

②當(dāng)a>0時，， ，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

③當(dāng)a<0時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由，得，當(dāng)時，時，，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，故當(dāng)時，

當(dāng)時，，由（1）知，當(dāng)時，

所以，

若對使成立，即

則且.

所以，所以 .

設(shè)，則，

令則，

當(dāng)時，由，故，

所以，故，

所以在[0,1]上單調(diào)遞減，

所以時，，即,

又時, ,

所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，，

即時，，故.

所以當(dāng)時，對

使成立.