Question

【題目】已知函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，函數(shù)有最小值，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，分成，兩種情況求導(dǎo)數(shù)為零的根，從而可探究出函數(shù)和導(dǎo)數(shù)隨自變量的變化情況.

（2）求出，通過導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出存在，使得，即，從而得出的單調(diào)性，進(jìn)而求出的解析式，再利用的單調(diào)性，從而可求其值域.

（1）解：，令，當(dāng)時，恒成立，此時單調(diào)遞增；

當(dāng)時，解得，，則隨的變化如下表，

則在上遞減，在上遞增.

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)?/span>，，則，

則 ，設(shè)，

則，則在上單調(diào)遞增.

對于，因?yàn)?/span>，，因此存在，

使得，即，故

當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.則

即，則，由，

可知，單調(diào)遞增.由得，.

所以的值域?yàn)?/span>.