Question

現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲．
（1）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（2）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；
（3）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

（1）；（2）；（3）分布列詳見解析，．

試題分析：本題主要考查隨機(jī)事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力．第一問，先通過擲骰子游戲，求出每個(gè)人去參加甲游戲和去參加乙游戲的概率，再用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算公式計(jì)算4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；第二問，用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算公式計(jì)算出去參加甲的人數(shù)為3人和4人的概率之和即為所求；第三問，根據(jù)前2問的分析，得出的3個(gè)可能取值0,2,4，分別求出概率值，列出分布列，利用求數(shù)學(xué)期望．
依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為．設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i＝0,1,2,3,4)，則
（1）這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率    3分
（2）設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則，
由于與互斥，故

所以，這4個(gè)人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為．    7分
（3）ξ的所有可能取值為0,2,4．由于與互斥，與互斥，故
，       
。
所以ξ的分布列是

ξ	0	2	4
P

 
隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望         12分