Question

【題目】如圖，在正四棱柱中，，，，，是棱的中點(diǎn)，平面與直線(xiàn)相交于點(diǎn).

（1）證明：直線(xiàn)平面.

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面，平面，從而平面平面，由此能證明平面．

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

解：（1）證明：平面平面，

平面平面，平面平面，

，由題意得，

設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，，

是棱的中點(diǎn)，，

平面，平面，平面，

，，，

平面，平面，平面，

，平面平面，

平面，平面．

（2）解：，，如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，0，，，1，，，0，， 1，，

，1，，，1，，，0，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設(shè)二面角的平面角為，

由，

，

二面角的正弦值為．