Question

【題目】對區(qū)間I上有定義的函數g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域為[0，3]的函數y=f（x）有反函數y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0 ， 則x0= ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：因為g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），
所以對于函數f（x），
當x∈[0，1）時，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無解；
當x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無解；
所以當x∈[0，2）時方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無解，
又因為方程f（x）﹣x=0有解x0 ， 且定義域為[0，3]，
故當x∈[2，3]時，f（x）的取值應屬于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x0）=x0 ， 只有x0=2，
所以答案是：2．
【考點精析】關于本題考查的函數的零點，需要了解函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能得出正確答案．