Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的一個極值點，判斷的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點，，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由極值點求出參數(shù)，確定的正負(fù)得的單調(diào)性；

（2）求出，得極值點滿足：

所以，由（1）即，不妨設(shè).要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．令，利用導(dǎo)數(shù)的知識可證得結(jié)論成立．

（1）由已知得.

因為是的一個極值點，所以，即，

所以，

令，則，

令，得，令，得；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

又當(dāng)時，，，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，；

即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2），因此極值點滿足：

所以由（1）即，不妨設(shè).

要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．

令，

則，

當(dāng)時，，，，所以，

即在單調(diào)遞增，又，

所以，

所以，即，

又，，在單調(diào)遞增，

所以，即.