Question

【題目】有最大值，且最大值大于.

（1）求的取值范圍；

（2）當時，有兩個零點，證明：.

(參考數(shù)據(jù)：)

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域為，，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍；

（2）利用導數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，且.

當時，對任意的，，

此時函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；

當時，令，得.

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，

即，解得.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；

（2）當時，，定義域為，

，當時，；當時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

由于函數(shù)有兩個零點、且，，

，

構(gòu)造函數(shù)，其中，

，

令，，當時，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，，

即，即，

，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，

所以，，因此，.