Question

如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊AB在軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，，D是OC的中點(diǎn)．以A、B為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)C的直線與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)M在點(diǎn)C、N之間，且，求的取值范圍．

Answer 1

（1橢圓E的方程為．（2）．

解析:

（1）在等腰直角三角形ABC中，因?yàn)樾边?img width=59 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/65/77865.gif">，

所以．所以橢圓的半焦距．

 因?yàn)?i>D是OC的中點(diǎn)，所以橢圓的短半軸長(zhǎng)，

所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)． 

所以橢圓E的方程為．

(2)設(shè)，，則， ．

由，得．所以 ①

因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，所以②　將①代入②得，

消去，得．

所以．根據(jù)題意，得，所以．

 解得．③ 

因?yàn)辄c(diǎn)M在點(diǎn)C、N兩點(diǎn)之間，，所以，④ 

 根據(jù)③、④，得。